定义与定义表达式

我们把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数（quadratic function），称a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。一般的，形如y=ax^2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数。自变量（通常为x）和因变量（通常为y）。右边是整式，且自变量的最高次数是2。　注意，“变量”不同于“未知数”，不能说“二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数”。未知数只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），变量可在一定范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别。

二次函数的解法

二次函数的通式是 y= ax^2+bx+c如果知道三个点 将三个点的坐标带入也就是说三个方程解三个未知数　如题方程一8=a2+b2+c 化简 8=c 也就是说c就是函数与Y轴的交点。　方程二7=a×36+b×6+c 化简 7=36a+6b+c。　方程三7=a×(-6)2+b×(-6)+c化简 7=36a-6b+c。　解出a,b,c 就可以了 。　上边这种是老老实实的解法 。　对(6,7)(-6,7)这两个坐标 可以求出一个对称轴也就是X=0 。　通过对称轴公式x=-b/2a 也可以算 。　如果知道过x轴的两个坐标(y=0的两个坐标的值叫做这个方程的两个根)也可以用对称轴公式x=-b/2a算 。　或者使用韦达定理一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中 。　设两个根为X1和X2　则X1+X2= -b/a　X1·X2=c/a

一般式

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为（-b/2a,4ac-b^2;/4a)

顶点式

y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k）对称轴为x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax^2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式

交点式

y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即b^2-4ac≥0]　由一般式变为交点式的步骤：

二次函数(16张)∵X1+x2=-b/a x1·x2=c/a　∴y=ax^2+bx+c　=a（x^2+b/ax+c/a）　=a[﹙x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1)(x-x2)　重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式（已知三点求函数解析式）

y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1·x2)(y1为截距) 求根公式

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

求根公式

x是自变量，y是x的二次函数　x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac)]/2a　(即一元二次方程求根公式）（如右图）求根的方法还有因式分解法和配方法　二次函数与X轴交点的情况　当△=b^2-4ac>0时， 函数图像与x轴有两个交点。　当△=b^2-4ac=0时,函数图像与x轴有一个交点。　当△=b^2-4ac<0时，函数图像与x轴没有交点。

编辑本段图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=ax^2+bx+c的图像，　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。 如果所画图形准确无误，那么二次函数图像将是由一般式平移得到的。　注意：草图要有　1本身图像，旁边注明函数。　2画出对称轴，并注明直线X=什么 （X= -b/2a）　3与X轴交点坐标 （x1,y1);(x2, y2)，与Y轴交点坐标(0,c)，顶点坐标(-b/2a, (4ac-bx?/4a).

轴对称

1.二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者x=-b/2a　 对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。　特别地，当h=0时，二次函数图像的对称轴是y轴（即直线x=0）　a,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴　a,b异号，对称轴在y轴右侧

顶点

2.二次函数图像有一个顶点P，坐标为P ( h,k )　当h=0时，P在y轴上；当k=0时，P在x轴上。即可表示为顶点式y=a(x-h)^2;+k　h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a

开口

3.二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。　当a>0时，二次函数图像向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。　|a|越大，则二次函数图像的开口越小。

决定对称轴位置的因素

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。　当a>0,与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左； 因为对称轴在左边则对称轴小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同号　当a>0,与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要异号　可简单记忆为同左异右，即当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0 ），对称轴在y轴右。　事实上，b有其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的　斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。

决定二次函数图像与y轴交点的因素

5.常数项c决定二次函数图像与y轴交点。　二次函数图像与y轴交于（0,C）　注意：顶点坐标为（h,k) 与y轴交于（0,C)

二次函数图像与x轴交点个数

6.二次函数图像与x轴交点个数　a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴有2个交点。　k=0时，二次函数图像与x轴有1个交点。　a<0;k<0或a>0,k>0时，二次函数图像与X轴无交点　_______　当a>0时，函数在x=h处取得最小值ymix=k，在x<h范围内是减函数，在　x>h范围内是增函数（即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向　上，函数的值域是y>k　当a<0时，函数在x=h处取得最大值ymax=k，在x>h范围内事增函数，在　x<h范围内是减函数（即y随x的变大而变大），二次函数图像的开口向下　，函数的值域是y<k　当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数

特殊值的形式

7.特殊值的形式　①当x=1时 y=a+ah2+2ah+k　②当x=-1时 y=a+ah2-2ah+k　③当x=2时 y=4a+ah2+8ah+k　④当x=-2时 y=4a+ah2-8ah+k

二次函数的性质

8.定义域：R　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，　正无穷）；②[t，正无穷）　奇偶性：当b=0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 。　周期性：无　解析式：　①y=ax^2;+bx+c[一般式]　⑴a≠0　⑵a>0，则抛物线开口朝上；a<0，则抛物线开口朝下；　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；　⑷Δ=b2-4ac,　Δ>0，图象与x轴交于两点：　（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；　Δ=0，图象与x轴交于一点：　（-b/2a，0）；　Δ<0，图象与x轴无交点；　②y=a(x-h)2+k[顶点式]　此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b?)/4a　③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式（双根式）]（a≠0）　对称轴X=(X1+X2)/2 当a>0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X　的增大而减小　此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连　用）。　交点式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道两个x轴交点和另一个点坐标设交点式。两交点X值就是相应X1 X2值。

两图像对称

对于一般式：　①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称　②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称　③y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx+c-2b2|a|/4a2关于顶点对称　④y=ax2+bx+c与y=-ax^2+bx-c关于原点对称。　对于顶点式：　①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称　②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称　③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称　④y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k关于原点对称。　（其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）

编辑本段二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax?+bx+c，　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），　即ax2+bx+c=0　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。　1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：　解析式 顶点坐标 对 称 轴　y=ax^2 (0，0) x=0　y=ax&^2+K (0，K) x=0　y=a(x-h)^2 (h，0) x=h　y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h　y=ax^2;+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，　当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到。　当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的图象　当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的图象　当h<0,k>0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的图象　当h<0,k<0时，将抛物线y=ax^2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位，就可得到y=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的图象　在向上或向下。向左或向右平移抛物线时，可以简记为“上加下减，左加右减”。　因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了。这给画图象提供了方便。　2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)。　3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大。若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小。　4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：　(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；　(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?| =√△/∣a∣（a绝对值分之根号下△）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A |（A为其中一点的横坐标）　当△=0．图象与x轴只有一个交点；　当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0。　5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a。　顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。　6．用待定系数法求二次函数的解析式　(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：　y=ax^2+bx+c(a≠0)。　(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0)。　(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)。

编辑本段如何学习二次函数

1.要理解函数的意义。　2.要记住函数的几个表达形式，注意区分。　3..一般式,顶点式，交点式，等，区分对称轴，顶点，图像，y随着x的增大而减小（增大）等的差异性。　4.联系实际对函数图像的理解。　5.计算时，看图像时切记取值范围。　6.随图像理解数字的变化而变化。

编辑本段二次函数考点及例题

二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。中考典例　1．( 北京东城区)有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：　甲：对称轴是直线x=4；　乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；　丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．　请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：　．　考点：二次函数y=ax2+bx+c的求法　评析：设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2)，且设x1<x2，则其图象与x轴两交点分别是A(x1，0)，B(x2，0)，与y轴交点坐标是(0，ax1x2). 『因为交点式a(x-x1)(x-x2),又因为与y轴交点的横坐标为0，所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2　∵抛物线对称轴是直线x=4，　∴x2-4=4 - x1即：x1+ x2=8　① ∵S△ABC=3，∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 6，　即：x2- x1=　②　①②两式相加减，可得：x2=4+，x1=4-　∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3。　当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=± 1　当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=± 1　因此，所求解析式为：y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)　即：y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3　说明：本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。例如：猜测与x轴交点为A(5，0)，B(3，0)。再由题设条件求出a，看C是否整数。若是，则猜测得以验证，填上即可。　解析法二： 猜测法　假设以原点标记为O（0，0）点，抛物线与Y轴交点为C（0，c），A(x1,0）， B(x2,0），则S△ABC=3，即是1/2·OC·AB=3,OC·AB=6=c·（x2-x1)（即是三角形的底乘以高等于6，而底是AB的距离，高为OC的距离，由条件乙、条件丙可知，三角形的底和高均为整数，即使A、B两点到对称轴的距离均相等且为整数，6=2*3=6*1，可知只可能有两种情况（1）AB间距离为2且高OC 为3，（2）AB间距离为6，高OC为1，便可简单解析出，当然后面需添加验证步骤。　2．( 安徽省)心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系：y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30)。y值越大，表示接受能力越强。　(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？　(2)第10分时，学生的接受能力是什么？　(3)第几分时，学生的接受能力最强？　考点：二次函数y=ax2+bx+c的性质。　评析：将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：y=-0.1(x-13)2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x<13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为：0<x<30，所以两个范围应为0<x<13；13<x<30。将x=10代入，求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下：　解：(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)?;+59.9　所以，当0<x<13时，学生的接受能力逐步增强。　当13<x<30时，学生的接受能力逐步下降。　(2)当x=10时，y=-0.1(10-13)2+59.9=59。　所以，第10分时，学生的接受能力为59。　(3)x=13时，y取得最大值，　所以，在第13分时，学生的接受能力最强。　3．( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：　(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；　(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围)；　(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？　解：(1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500–(55–50)×10=450(千克)，所以月销售利润为　:(55–40)×450=6750(元)．　(2)当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是：(x–40)元，所以月销售利润为：　y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x^2+1400x–40000(元)，　∴y与x的函数解析式为：y =–10x^2+1400x–40000．　(3)要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，　即：x2–140x+4800=0，　解得：x1=60，x2=80．　当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500–(60–50)×10=400(千克)，月销售成本为：　40×400=16000(元)；　当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：500–(80–50)×10=200(千克)，月销售单价成本为：　40×200=8000(元)；　由于8000<10000<16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．　5．2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值Y元，已知全市生产总值=全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人），人均生产产值为y（元）．　（1）求y关于x的函数关系式；　（2）2006年义乌市户籍人口为706 684人，求2006年义乌市人均生产产值（单位：元，结果精确到个位）：若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元=7.96元人民币），义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？　6．(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是(　) (A)直线x=1　(B)直线x=-1　(C)直线x=2　(D)直线x=-2 考点：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴． 评析：因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是：x=-b/2a，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确． 另一种方法：可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=(x-1)2，所以对称轴x=1，应选A．　7..某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，图中的二次函数图像（部分）刻画了了该公司年初以来累计利润s（万元）与销售时间t(月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）.　根据图像提供的信息，解答下列问题：　（1）由已知图像上的三点坐标，求累计利润s(万元）与销售时间t（月）之间的函数表达式;　(2)求截止到几月末公司累计利润可达30万元　(3)求第8个月公司所获利润是多少万元。　图像我整不来，我只能把图标说一下：横坐标是（t/月），纵坐标是（s/万元），然后图上画了3个坐标点，（1，-1.5）（2，-2）（5，2.5）。　（^2代表平方，*代表乘号）　解：（1）设函数关系试为S=at2+bt+c　因为S=at2+bt+c经过（1，-1.5）（2，-2）（5，2.5）　所以-1.5=a+b+c　-2=4a+2b+c　2.5=25a+5b+c　解得a=1/2　b=-2　c=-0　所以函数关系试为S=1/2t2-2t　(2)将S=30代入关系试得30 =1/2t2-2t 解得t1=10 t2=-6（舍去）　(3)将t=8代入关系式得S=1/2*64-2*8=16　利用以上方法求解析式　①一般式：根据y=ax2+bx+c将（a,b）（c,d）（m,n）同时带入y=ax2+bx+c可得解析式　②顶点式：y=a（x-h）+k ,h为顶点横坐标 k为顶点的纵坐标将顶点和一个任意坐标带入顶点式后化简可得解析式　③交点式：y=a(x-x1)(x-x2) -x1 -x2为与x轴的交点横坐标 将x1 x2带入交点式 再带入任意一个坐标 可得交点式化简后可得解析式1.二次函数的图像经过A(1,1),B(-1,7)C(2,4)三点，求二次函数的解析式。　解法：将A、B、C三点代入方程得a+b+c=1，a-b+c=7,4a+2b+c=4 解得a=2,b=-3,c=2　2.已知当x=2是，函数有最小值为3，且过点（1,5），求二次函数解析式。　解法：∵x=2时，函数有最小值为3，∴h=2,c=3，∵过点（1,5）∴5=a(1-2)?+3 解得a=2，∴二次函数方程为y=2（x-2)?+3。　3.二次函数的图像经过点（3，-8）对称轴为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的距离为6，求二次函数解析式。　解法：3.∵二次函数对称轴为直线x=2，抛物线与X轴两个交点之间的距离为6，∴抛物线与X轴两个交点的坐标为（-1,0），（5,0）∵二次函数的图像经过点（3，-8），a=1∴二次函数方程为y=（x+1）×（x-5）

二次函数的初三数学知识点归纳

二次函数是初中重要的数学知识点，本文就来分享一篇二次函数解题方法总结，希望对大家能有所帮助！

　1.求证“两线段相等”的问题：

　2.“平行于y轴的动线段长度的最大值”的问题：

　由于平行于y轴的线段上各个点的横坐标相等(常设为t)，借助于两个端点所在的函数图象解析式，把两个端点的纵坐标分别用含有字母t的代数式表示出来，再由两个端点的高低情况，运用平行于y轴的线段长度计算公式，把动线段的长度就表示成为一个自变量为t，且开口向下的二次函数解析式，利用二次函数的性质，即可求得动线段长度的最大值及端点坐标。

　3.求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：

　先用点斜式(或称K点法)求出过已知点，且与已知直线垂直的直线解析式，再求出两直线的交点坐标，最后用中点坐标公式即可。

　4.“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离最大”的问题：

　(方法1)先求出定直线的斜率，由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式(注意该直线与定直线的斜率相等，因为平行直线斜率(k)相等)，再由该直线与抛物线的解析式组成方程组，用代入法把字母y消掉，得到一个关于x的的一元二次方程，由题有△=-4ac=0(因为该直线与抛物线相切，只有一个交点，所以-4ac=0)从而就可求出该切线的解析式，再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组，求出x、y的值，即为切点坐标，然后再利用点到直线的距离公式，计算该切点到定直线的距离，即为最大距离。

　(方法2)该问题等价于相应动三角形的面积最大问题，从而可先求出该三角形取得最大面积时，动点的坐标，再用点到直线的距离公式，求出其最大距离。

　(方法3)先把抛物线的方程对自变量求导，运用导数的几何意义，当该导数等于定直线的斜率时，求出的点的坐标即为符合题意的点，其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出。

　5.常数问题：

　(1)点到直线的距离中的常数问题：

　“抛物线上是否存在一点，使之到定直线的距离等于一个固定常数”的问题：

　先借助于抛物线的解析式，把动点坐标用一个字母表示出来，再利用点到直线的距离公式建立一个方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，进而利用抛物线解析式，求出动点的纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

　(2)三角形面积中的常数问题：

　“抛物线上是否存在一点，使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：

　先求出定线段的长度，再表示出动点(其坐标需用一个字母表示)到定直线的距离，再运用三角形的面积公式建立方程，解此方程，即可求出动点的横坐标，再利用抛物线的解析式，可求出动点纵坐标，从而抛物线上的动点坐标就求出来了。

　6.“在定直线(常为抛物线的对称轴，或x轴或y轴或其它的定直线)上是否存在一点，使之到两定点的距离之和最小”的问题：

　先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标，再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段，该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离，而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点，其坐标很易求出(利用求交点坐标的方法)。

　7.三角形周长的“最值(最大值或最小值)”问题：

　“在定直线上是否存在一点，使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题(简称“一边固定两边动的问题)：

　由于有两个定点，所以该三角形有一定边(其长度可利用两点间距离公式计算)，只需另两边的和最小即可。

　8.三角形面积的最大值问题：

　①“抛物线上是否存在一点，使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题(简称“一边固定两边动的问题”)：

　(方法1)先利用两点间的距离公式求出定线段的长度;然后再利用上面3的方法，求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离。最后利用三角形的面积公式底·高1/2。即可求出该三角形面积的最大值，同时在求解过程中，切点即为符合题意要求的点。

　(方法2)过动点向y轴作平行线找到与定线段(或所在直线)的交点，从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形，动点坐标一母示后，

　进一步可得到，转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值。

　②“三边均动的动三角形面积最大”的问题(简称“三边均动”的问题)：

　先把动三角形分割成两个基本模型的三角形(有一边在x轴或y轴上的三角形，或者有一边平行于x轴或y轴的三角形，称为基本模型的三角形)面积之差，设出动点在x轴或y轴上的点的坐标，而此类题型，题中一定含有一组平行线，从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似(常为图中最大的那一个三角形)。利用相似三角形的性质(对应边的`比等于对应高的比)可表示出分割后的一个三角形的高。从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式，相应问题也就轻松解决了。

　9.“一抛物线上是否存在一点，使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：

　由于该四边形有三个定点，从而可把动四边形分割成一个动三角形与一个定三角形(连结两个定点，即可得到一个定三角形)的面积之和，所以只需动三角形的面积最大，就会使动四边形的面积最大，而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同。

　10、“定四边形面积的求解”问题：

　有两种常见解决的方案：

　方案(一)：连接一条对角线，分成两个三角形面积之和;

　方案(二)：过不在x轴或y轴上的四边形的一个顶点，向x轴(或y轴)作垂线，或者把该点与原点连结起来，分割成一个梯形(常为直角梯形)和一些三角形的面积之和(或差)，或几个基本模型的三角形面积的和(差)

　11.“两个三角形相似”的问题：

　12.“某函数图象上是否存在一点，使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：

　首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点。(若某边底，则只有一种情况;若某边为腰，有两种情况;若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况)。先借助于动点所在图象的解析式，表示出动点的坐标(一母示)，按分类的情况，分别利用相应类别下两腰相等，使用两点间的距离公式，建立方程。解出此方程，即可求出动点的横坐标，再借助动点所在图象的函数关系式，可求出动点纵坐标，注意去掉不合题意的点(就是不能构成三角形这个题意)。

　13、“某图象上是否存在一点，使之与另外三个点构成平行四边形”问题：

　这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标(若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标)，任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线(显然最多有3条)，此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。

　进一步有：

　①若是否存在这样的动点构成矩形呢?先让动点构成平行四边形，再验证两条对角线相等否?若相等，则所求动点能构成矩形，否则这样的动点不存在。

　②若是否存在这样的动点构成棱形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边相等否?若相等，则所求动点能构成棱形，否则这样的动点不存在。

　③若是否存在这样的动点构成正方形呢?先让动点构成平行四边形，再验证任意一组邻边是否相等?和两条对角线是否相等?若都相等，则所求动点能构成正方形，否则这样的动点不存在。

　14.“抛物线上是否存在一点，使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：(此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉，后面的19实为本类型的特殊情形。)

　先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标，分别表示(如果图形是动图形就只能表示出其面积)或计算(如果图形是定图形就计算出它的具体面积)，然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程，解之即可。(注意去掉不合题意的点)，如果问题中求的是间接动点坐标，那么在求出直接动点坐标后，再往下继续求解即可。

　15.“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点，使之与另两定点构成直角三角形”的问题：

　若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标(一母示)，视题目分类的情况，分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率，再运用两直线(没有与y轴平行的直线)垂直的斜率结论(两直线的斜率相乘等于-1)，得到一个方程，解之即可。

　若夹直角的两边中有一边与y轴平行，此时不能使用斜率公式。补救措施是：过余下的那一个点(没在平行于y轴的那条直线上的点)直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。

　16.“某图象上是否存在一点，使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题。

　①若定点为直角顶点，先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式(如斜率不存在，根据定直角点，可以直接写出另一直角边所在直线的方程)，利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否?若等，该交点合题，反之不合题，舍去。

　②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式，再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组，求出交点坐标，再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率，把这两个斜率相乘，看其结果是否为-1?若为-1，则就说明所求交点合题;反之，舍去。

　17.“题中含有两角相等，求相关点的坐标或线段长度”等的问题：

　题中含有两角相等，则意味着应该运用三角形相似来解决，此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口。

二次函数知识点该怎么归纳？

1.二次函数的一般形式：y=ax2+bx+c.(a0)

　2.关于二次函数的几个概念：二次函数的图象是抛物线，所以也叫抛物线y=ax2+bx+c;抛物线关于对称轴对称且以对称轴为界，一半图象上坡，另一半图象下坡;其中c叫二次函数在y轴上的截距,即二次函数图象必过(0，c)点.

　3. y=ax20)的特性：当y=ax2+bx+c (a0)中的.b=0且c=0时二次函数为y=ax20);

　这个二次函数是一个特殊的二次函数，有下列特性：

　(1)图象关于y轴对称;(2)顶点(0，0);

　4.求二次函数的解析式：已知二次函数图象上三点的坐标，可设解析式y=ax2+bx+c，并把这三点的坐标代入，解关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值,从而求出解析式-------待定系数法.

　5.二次函数的顶点式：y=a(x-h)2+k(a 由顶点式可直接得出二次函数的顶点坐标(h, k)，对称轴方程x=h和函数的最值y最值= k.

　6.求二次函数的解析式：已知二次函数的顶点坐标(h,k)和图象上的另一点的坐标，可设解析式为y=a(x -h)2+ k，再代入另一点的坐标求a，从而求出解析式.

　7.二次函数图象的平行移动：二次函数一般应先化为顶点式，然后才好判断图象的平行移动;y=a(x-h)2+k的图象平行移动时，改变的是h, k的值, a值不变，具体规律如下：

　k值增大=图象向上平移;

　k值减小图象向下平移;

　(x-h)值增大=图象向左平移;

　(x-h)值减小图象向右平移.

　8.二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象及几个重要点的公式：

　9.二次函数y=ax2+bx+c(a0)中，a、b、c与的符号与图象的关系：

　(1)a=抛物线开口向上;0 抛物线开口向下;

　(2)c=抛物线从原点上方通过;c=0 抛物线从原点通过;

　c=抛物线从原点下方通过;

　(3)a, b异号=对称轴在y轴的右侧;a, b同号=对称轴在y轴的左侧;

　b=0对称轴是y轴;

　(4)b2-4ac=抛物线与x轴有两个交点;

　b2-4ac =0=抛物线与x轴有一个交点(即相切);

　b2-4ac=抛物线与x轴无交点.

　10.二次函数图象的对称性：已知二次函数图象上的点与对称轴，可利用图象的对称性求出已知点的对称点，这个对称点也一定在图象上.

二次函数是初中数学的重要内容之一，它包括了二次函数的定义、性质、图像、解析式等多个知识点。以下是对二次函数知识点的归纳：

1.定义：二次函数是指形如f(x)=ax_+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，a称为二次项系数，b称为一次项系数，c称为常数项。

2.性质：二次函数的性质主要包括对称性、单调性、最值等。对称轴是二次函数图像的中心线，其公式为x=-b/2a；二次函数的单调性取决于a的正负，当a>0时，函数在对称轴左侧递减，右侧递增；当a0且Δ>0时，函数有最小值；当a0时，函数有最大值。

3.图像：二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

4.解析式：二次函数的解析式可以通过顶点坐标公式、对称轴公式、零点公式等方法求得。

5.应用：二次函数在实际生活中有很多应用，例如物体的自由落体运动、抛物线形的桥梁设计等。

以上就是对二次函数知识点的归纳，希望对你有所帮助。