百鸡问题
《张邱建算经》中，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题：「今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六。又答：鸡翁八，值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七。又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十四，值钱二十八。」该问题导致三元不定方程组，其重要之处在于开创「一问多答」的先例，这是过去中国古算书中所没有的。
秦王暗点兵问题和韩信乱点兵问题，都是后人对物不知其数问题的一种故事化。
物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"
这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。问：这批物品共有多少件？
变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。如果没有这个特殊性，问题就不那么简单了，也更有趣得多。
我们换一个例子；韩信点一队士兵的人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人。问：这队士兵至少有多少人？
这个题目是要求出一个正数，使之用3除余2，用5除余3，用7除余4，而且希望所求出的数尽可能地小。
如果一位同学从来没有接触过这类问题，也能利用试验加分析的办法一步一步地增加条件推出答案。
例如我们从用3除余2这个条件开始。满足这个条件的数是3n+2，其中n是非负整数。
要使3n+2还能满足用5除余3的条件，可以把n分别用1，2，3，…代入来试。当n=1时，3n+2=5，5除以5不用余3，不合题意；当n=2时，3n+2=8，8除以5正好余3，可见8这个数同时满足用3除余2和用5除余3这两个条件。
最后一个条件是用7除余4。8不满足这个条件。我们要在8的基础上得到一个数，使之同时满足三个条件。
为此，我们想到，可以使新数等于8与3和5的一个倍数的和。因为8加上3与5的任何整数倍所得之和除以3仍然余2，除以5仍然余3。于是我们让新数为8+ 15m，分别把m=1，2，…代进去试验。当试到m=3时，得到8+15m=53，53除以7恰好余4，因而53合乎题目要求。
我国古代学者早就研究过这个问题。例如我国明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》（1593年）中就用四句很通俗的口诀暗示了此题的解法：
三人同行七十稀，
五树梅花甘一枝，
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，当所得的数比105大时，就105、105地往下减，使之小于105；这相当于用105去除，求出余数。
这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3、5、7时，用70乘以用3除的余数，用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把这三个乘积相加。加得的结果如果比105大，就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解。
按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数可得：
70×2+21×3+15×4=263，
263=2×105+53，
所以，这队士兵至少有53人。
在这种方法里，我们看到：70、21、15这三个数很重要，稍加研究，可以发现它们的特点是：
70是5与7的倍数，而用3除余1；
21是3与7的倍数，而用5除余1；
15是3与5的倍数，而用7除余1。
因而
70×2是5与7的倍数，用3除余2；
21×3是3与7的倍数，用5除余3；
15×4是3与5的倍数，用7除余4。
如果一个数除以a余数为b，那么给这个数加上a的一个倍数以后再除以a，余数仍然是b。所以，把70×2、21×3与15×4都加起来所得的结果能同时满足"用3除余2、用5除余3、用7除余4"的要求。一般地，
70m+21n+15k (1≤m＜3, 1≤n＜5,1≤k＜7)
能同时满足"用3除余m 、用5除余n 、用7除余k"的要求。除以105取余数，是为了求合乎题意的最小正整数解。
我们已经知道了70、21、15这三个数的性质和用处，那么，是怎么把它们找到的呢？要是换了一个题目，三个除数不再是3、5、7，应该怎样去求出类似的有用的数呢？
为了求出是5与7的倍数而用3除余1的数，我们看看5与7的最小公倍数是否合乎要求。5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以3余2，35的2倍除以3余2，35的2倍除以3就能余1了，于是我们得到了"三人同行七十稀"。
为了求出是3与7的倍数而用5除余1的数，我们看看3与7的最小公倍数是否合乎要求。3与7的最小公倍数是3×7=21，21除以5恰好余1，于是我们得到了"五树梅花甘一枝"。
为了求出是3与5的倍数而用7除余1的数，我们看看3与5的最小公倍数是否合乎要求。3与5的最小公倍数是3×5=15，15除以7恰好余1，因而我们得到了"七子团圆正半月"。
3、5、7的最小公倍数是105，所以"除百零五便得知"。
例如：试求一数，使之用4除余3，用5除余2，用7除余5。
解：我们先求是5与7的倍数而用4除余1的数；5与7的最小公倍数是5×7=35，35除以4余3，3×3除以4余1，因而35×3=105除以4余1，105是5与7的倍数而用4除余1的数。
我们再求4与7的倍数而用5除余1的数；4与7的最小公倍数是4×7=28，28除以5余3，3×7除以5余1，因而28×7=196除余5余1，所以196是4与7的倍数而用5除余1的数。
最后求的是4与5的倍数而用7除余1的数：4与5的最小公倍数是4×5=20，20除以7余6，6×6除以7余1，因而20×6=120除以7余1，所以120是4与5的倍数而用7除余1的数。
利用105、196、120这三个数可以求出符合题目要求的解：
105×3+196×2+120×5=1307。
由于4、5、7的最小公倍数是4×5×7=140，1307大于140，所以1307不是合乎题目要求的最小的解。用1037除以140得到的余数是47，47是合乎题目的最小的正整数解。
一般地，
105m+196n+120k (1≤m＜4,1≤n＜5,1≤k＜7)
是用4除余m,用5除余n,用7除余k的数(105m+196n+120k)除以140所得的余数是满足上面三个条件的最小的正数。
上面我们是为了写出105m+196n+120k这个一般表达式才求出了105这个特征数。如果只是为了解答我们这个具体的例题，由于5×7=35既是5与7的倍数除以4又余3，就不必求出105再乘以3了。
35+196×2+120×5=1027
就是符合题意的数。
1027=7×140+47，
由此也可以得出符合题意的最小正整数解47。
《算法统宗》中把在以3、5、7为除数"物不知其数"问题中起重要作用的70、21、15这几个特征数用几句口诀表达出来了，我们也可以把在以4、5、7为除数的问题中起重要作用的105、196、120这几个特征数编为口诀。留给读者自己去编吧。
凡是三个除数两两互质的情况，都可以用上面的方法求解。
上面的方法所依据的理论，在中国称之为孙子定理，国外的书籍称之为中国剩余定理。
求古代数学问题。
东汉时候，有个人名叫孙敬，是著名的政治家。他年轻时勤奋好学，经常关起门，独自一人不停地读书。 每天从早到晚读书，常常是废寝忘食。读书时间长，劳累了，还不休息。时间久了，疲倦得直打瞌睡。 他怕影响自己的读书学习，就想出了一个特别的办法。古时候，男子的头发很长。他就找一根绳子， 一头牢牢的绑在房梁上。当他读书疲劳时打盹了，头一低，绳子就会牵住头发，这样会把头皮扯痛了， 马上就清醒了，再继续读书学习。 这就时孙敬悬梁的故事。
战国时期，有一个人名叫苏秦，也是出名的政治家。在年轻时，由于学问不多不深，曾到好多地方做事， 都不受重视。回家后，家人对他也很冷淡，瞧不起他。这对他的刺激很大。所以，他下定决心，发奋读书。 他常常读书到深夜，很疲倦，常打盹，直想睡觉。他也想出了一个方法，准备一把锥子，一打瞌睡， 就用锥子往自己的大腿上刺一下。这样，猛然间感到疼痛，使自己清醒起来，再坚持读书。 这就使苏秦"刺股"的故事。
〔注〕：从孙敬和苏秦两个人读书的故事引申出"悬梁刺股"这句成语，用来比喻发奋读书，刻苦学习的精神。 他们这种努力学习的精神是好的，但是他们这种发奋学习的方式方法不必效仿。
孔子不耻下问:
春秋时代，孔子被人们尊为“圣人”，他有弟子二千，大家都向他请教学问。他的《论语》是千百年来的传世之作。
孔子学问渊博，可是仍虚心向别人求教。有一次，他到太庙去祭祖。他一进太庙，就觉得新奇，向别人问这问那。有人笑道：“孔子学问出众，为什么还要问？”孔子听了说：“每事必问，有什么不好？”他的弟子问他：“孔圉死后，为什么叫他孔文子？”孔子道：“聪明好学，不耻下问，才配叫‘文’。”弟子们想：“老师常向别人求教，也并不以为耻辱呀！”
虚心好学，肯向一切人，包括向比自己地位低的人学习，叫“不耻下问”
1、百鸡问题：今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何?《张邱建算经》
?答曰：鸡翁四，值钱二十；鸡母十八，值钱五十四；鸡鶵七十八，值钱二十六；
?又答：鸡翁八,值钱四十；鸡母十一，值钱三十三，鸡鶵八十一，值钱二十七；
?又答：鸡翁十二，值钱六十；鸡母四、值钱十二；鸡鶵八十四，值钱二十八。
2、物不知其数：今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二。问物几何?《孙子算经》
? 答曰：三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。
3、谷束问题：上等谷3束，中等谷2束，下等谷1束共39斗。上等谷2束，中等谷3束，下等谷1束，共34斗。上等谷1束，中等谷2束，下等谷3束，共26斗，求上、中、下三等谷每束各是几斗？《九章算术》
? 答曰：上等谷每束9.25斗，中等谷每束4.25斗，下等谷每束2.75斗。
4、及时梨果：九百九十九文钱，及时梨果买一千，一十一文梨九个，七枚果子四文钱。问：梨果多少价几何？《四元玉鉴》
答曰：梨有657个，共803文钱，果有343个，共196文钱。
5、和尚分馒头：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？《直指算法统宗》
答曰：大和尚25，小和尚75。
中国是世界文明古国之一。数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌。《周髀算经》是中国现存最早的一部数学典籍，成书时间大约在两汉之间，其它的有《九章算术》《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《海岛算经》、《张丘建算经》等数学著作。
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本文概览：百鸡问题《张邱建算经》中，是原书卷下第38题，也是全书的最后一题：「今有鸡翁一，值钱伍；鸡母一，值钱三；鸡鶵三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、鶵各几何？答曰：鸡翁四，值钱...